Question

6．求函数$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x+5$，在x∈[-1，2]上的最值．

Answer 1

分析 先求出函数的导数f′（x）=3x²-x-2，利用导数研究研究出函数的在x∈[-1，2]上的单调性，判断出最值的位置求出最值．

解答 解：函数f（x）的导数是f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）＞0，解得x＜-$\frac{2}{3}$或x＞1，
令f′（x）＜0，解得-$\frac{2}{3}$＜x＜1，
故f（x）在[-1，-$\frac{2}{3}$]与[1，2]上是增函数，在[-$\frac{2}{3}$，1]上是减函数，
由于f（-1）=$\frac{13}{2}$，f（2）=7，f（1）=$\frac{7}{2}$，f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{157}{27}$．
则f（x）_max=f（2）=7，f（x）_min=f（1）=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，求解的关键是研究清楚函数的单调性并准确判断出最值在何处取到，解题步骤是：求导，得出单调性，判断出最值，求最值．