Question

18．函数g（x）=ax³+2（1-a）x²-3ax在区间[-3，3]内单调递减，则a的取值范围是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 由g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a，函数g（x）=ax³+2（1-a）x²-3ax在区间[-3，3]内单调递减，则g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a≤0在区间[-3，3]上恒成立，对a进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，可得满足条件的a的取值范围．

解答 解：∵函数g（x）=ax³+2（1-a）x²-3ax在区间[-3，3]内单调递减，
∴g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a≤0在区间[-3，3]上恒成立，
（1）a=0时，g′（x）≤0，解得：x≤0，不满足要求；
（2）a＞0，g′（x）是一个开口向上的抛物线，
要使g′（x）≤0在区间[-3，3]上恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}g′（-3）=36a-12≤0\\ g′（3）=12a+12≤0\end{array}\right.$
解得：a≤-1（舍去）；
（3）a＜0，g′（x）是一个开口向下的抛物线，且以直线x=$\frac{2a-2}{3a}$为对称轴，
此时由$\frac{2a-2}{3a}$＞0可知，要使g′（x）≤0在区间[-3，3]上恒成立，
则g′（3）=12a+12≤0
解得：a≤-1，
∴a的取值范围是（-∞，-1]．
故答案为：（-∞，-1]

点评 本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．