Question

8．对于函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（ax²-2x+4）（a∈R）．
（1）若f（x）的定义域是R，求a的取值范围；
（2）若f（x）的值域是R，求a的取值范围；
（3）若f（x）的值域是（-∞，1]，求a的取值范围；
（4）若f（x）在（-∞，3]上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）的定义域为R，真数大于0恒成立，求出a的取值范围即可；
（2）当f（x）的值域是R时，真数取遍所有大于0的数，由此求出a的取值范围；
（3）当f（x）的值域是（-∞，1]时，真数大于或等于1恒成立，求出a的取值范围；
（4）当f（x）在（-∞，3]上为增函数时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{1}{a}≥3}\\{9a-6+4＞0}\end{array}\right.$，由此求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（ax²-2x+4）（a∈R），
当f（x）的定义域为R时，ax²-2x+4＞0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4-16a＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{1}{4}$，
∴a的取值范围是{a|a＞$\frac{1}{4}$}；
（2）当f（x）的值域是R时，有a=0时，满足条件；
又$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4-16a≥0}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤$\frac{1}{4}$，满足条件；
∴a的取值范围是{a|0≤a≤$\frac{1}{4}$}；
（3）当f（x）的值域是（-∞，1]时，ax²-2x+4≥$\frac{1}{2}$恒成立，
∴ax²-2x+$\frac{7}{2}$≥0，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4-14a≤0}\end{array}\right.$，
解得a≥$\frac{2}{7}$，
∴a的取值范围是{a|a≥$\frac{2}{7}$}；
（4）当f（x）在（-∞，3]上为增函数时，
应满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{1}{a}≥3}\\{9a-6+4＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{2}{9}$＜a≤$\frac{1}{3}$，
∴a的取值范围是{a|$\frac{2}{9}$＜a≤$\frac{1}{3}$}．

点评 本题考查了复合函数的定义域、值域和单调性的应用问题，是基础题目．