Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$．
（Ⅰ）求f（x）+f（1-x），x∈R的值；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足a_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的解析式化简f（x）+f（1-x）即可；
（Ⅱ）根据a_n的特点和（Ⅰ）的结论，利用倒序求和法求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$+$\frac{{{4^{1-x}}}}{{{4^{1-x}}+2}}$=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$+$\frac{4}{{4+2•{4^x}}}$=1；

（Ⅱ）∵a_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1），①
∴a_n=f（1）+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）+…+f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）+f（0）②
由（Ⅰ）知f（x）+f（1-x）=1
∴①+②得，2a_n=n+1，则a_n=$\frac{n+1}{2}$．

点评 本题考查利用倒序求和法求数列{a_n}的通项公式，考查化简、变形能力．