Question

13．若f（x）=-x²+2ax与g（x）=$\frac{1}{x+a}$在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． [0，1]
• C． （-2，-1）∪（-1，1]
• D． （-∞，-2）∪（-1，1]

Answer 1

分析 f（x）是开口向下的二次函数，所以在对称轴右侧为减函数，又因为f（x）在区间[1，2]上是减函数，所以区间[1，2]为函减区间的子区间，通过比较函数的单调减区间与区间[1，2]的端点的大小，可求出a的一个范围，因为g（x）是反比例函数通过左右平移得到的，所以函数g（x）=$\frac{1}{x+a}$在区间（-∞，-a）和（-a，+∞）上均为减函数，这样，有得到a的一个范围，两个范围求公共部分，即得a的值范围．

解答 解：∵函数f（x）=-x²+2ax的对称轴为x=a，开口向下，
∴单调间区间为[a，+∞）
又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴a≤1
∵函数g（x）=$\frac{1}{x+a}$在区间（-∞，-a）和（-a，+∞）上均为减函数，
∵g（x）=$\frac{1}{x+a}$在区间[1，2]上是减函数，
∴-a＞2，或-a＜1，
即a＜-2，或a＞-1，
综上得a∈（-∞，-2）∪（-1，1]，
故选：D

点评 本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断，以及根据所给函数单调区间，求参数的范围．