Question

6．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a∈R，有a*0=a；
（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
关于函数f（x）=（e^x）*$\frac{1}{{e}^{x}}$的性质，有如下命题：
①函数f（x）为偶函数；
②函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0]；
③函数f（x）在x=0处取得极小值；
④方程f（x）=4有唯一实数根
其中正确命题的序号是①③（经所有正确命题的序号填写在横线上）．

Answer 1

分析 可由性质化简得：f（x）=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，由奇偶性的定义，求出f（-x），即可判断①；可求出f（x）的导数，令导数不小于0，解出即可判断②，结合②得到函数的单调性判断③，由基本不等式，结合①②即可判断④．

解答 解：由于对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0），
则由对任意a∈R，a*0=a，可得a*b=ab+a+b．
则有f（x）=（e^x）*$\frac{1}{{e}^{x}}$=e^x•$\frac{1}{{e}^{x}}$+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，对于①，由于定义域为R，关于原点对称，且f（-x）=1+e^-x+$\frac{1}{{e}^{-x}}$=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=f（x），
则f（x）为偶函数，故①对；
对于②，f′（x）=e^x-e^-x，令f′（x）≥0，则x≥0，即f（x）的单调递增区间为[0，+∞），故②错；
对于③，由②得：f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，∴f（x）_极小值=f（0），故③正确；
对于④，由于定义域为R，则e^x＞0，1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$≥1+2$\sqrt{{e}^{x}•\frac{1}{{e}^{x}}}$=3，
当且仅当e^x=$\frac{1}{{e}^{x}}$，即有x=0，f（x）取最小值3，结合①②，方程f（x）=4有2个实数根，故④错误；
故答案为：①③．

点评 本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力．