Question

18．已知方程lnx-ax+1=0（a为实常数）有两个不等实根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，e）
• B． [1，e]
• C． （0，1）
• D． [0，1]

Answer 1

分析 方程lnx-ax+1=0即为a=$\frac{lnx+1}{x}$，令f（x）=$\frac{lnx+1}{x}$（x＞0），求出导数，单调区间和极值，画出图象，由图象观察即可得到a的范围．

解答 解：方程lnx-ax+1=0即为a=$\frac{lnx+1}{x}$，
令f（x）=$\frac{lnx+1}{x}$（x＞0），
则f′（x）=$\frac{1-（lnx+1）}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{x}$，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
x=1处取得极大值，也为最大值，且为1，
作出y=f（x）的图象，
当0＜a＜1时，y=f（x）和y=a有两个交点，
即有f（x）=0有两个实根．
故选C．

点评 本题考查方程的根的个数，考查运用导数，求单调区间和极值、最值，数形结合的思想方法，属于中档题．