Question

10．已知函数f（x）=e^x（-x²+b）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x+3
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈（-1，+∞）时，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x（-x²-2x+b）．由点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x+3．可得f（0）=3，f′（0）=3．解得b，由f′（x）＜0，解出可得函数f（x）的单调递减区间．
（2）f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1），化为e^x（2x+3）≥m（x+1），由x∈（-1，+∞）时，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立?$m≤{（\frac{{{e^x}（3+2x）}}{x+1}）_{min}}$．令$g（x）=\frac{{{e^x}（3+2x）}}{x+1}$，用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（-x²-2x+b）．
∵点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x+3．
∴f（0）=3，f′（0）=3．
∴b=3，
∴f′（x）=e^x（-x²-2x+3）=-e^x（x+3）（x-1），
由f′（x）＜0，化为（x+3）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-3，
∴函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-3），（1，+∞）；
（2）f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1），化为e^x（2x+3）≥m（x+1），
∵x∈（-1，+∞）时，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立，
∴$m≤{（\frac{{{e^x}（3+2x）}}{x+1}）_{min}}$即可．
令$g（x）=\frac{{{e^x}（3+2x）}}{x+1}$，
由导数得g（x）在（-1，-$\frac{1}{2}$）递减；在（-$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
∴$g{（x）_{min}}=g（-\frac{1}{2}）=\frac{{4\sqrt{e}}}{e}$，
∴$m≤\frac{{4\sqrt{e}}}{e}$．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、导数几何意义，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．