Question

11．在极坐标系中，已知A（$\sqrt{2}$，0）到直线l：ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=m，（m＞0）的距离为3．
（1）求m的值．
（2）设P是直线l上的动点，点Q在线段OP上，满足|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{OQ}$|=1，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）以极点为原点，极轴为x的正半轴建立直角坐标系，求出A的坐标，直线l的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，即可求m的值．
（2）设Q（ρ，θ），P（ρ₀，θ₀），确定坐标之间的关系，即可求出点Q的轨迹方程．

解答 解：（1）以极点为原点，极轴为x的正半轴建立直角坐标系，则A（$\sqrt{2}$，0），
直线l的直角坐标方程是：x-y-$\sqrt{2}m$=0，A到l的距离$d=\frac{{|{\sqrt{2}+\sqrt{2}m}|}}{{\sqrt{2}}}=3$
∴m=2…（7分）
（2）由（1）得直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=2，设Q（ρ，θ），P（ρ₀，θ₀），
则$\left\{\begin{array}{l}ρ{ρ_0}=1\\ θ={θ_0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{ρ_0}=\frac{1}{ρ}\\{θ_0}=θ\end{array}\right.$
∵$P∈l∴{ρ_0}sin（{θ_0}-\frac{π}{4}）=2∴\frac{1}{ρ}sin（θ-\frac{π}{4}）=2$
点Q的轨迹方程是：ρ=$\frac{1}{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）…（14分）

点评 本题考查轨迹方程，考查极坐标方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．