Question

6．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，过E作圆的切线交BC于D点．连结OD交圆O于点M．
（1）求证：O、B、D、E四点共圆；
（2）求证：D是BC的中点；
（3）求证：2DE²=DM•AC+DM•AB．

Answer 1

分析 （1）连接BE、OE，由DE为圆O的切线，证出∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；
（2）证明：DB=DE=DC，可得D是BC的中点；
（3）延长DO交圆O于点H，由DE为圆O的切线，从而得出DE²=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=$\frac{1}{2}$AB和DO=$\frac{1}{2}$AC，化简即可得到等式2DE²=DM•AC+DM•AB成立．

解答 证明：（1）如图，连结OE、BE，则
∵DE为圆O的切线，∴OE⊥DE
∴∠OBD=∠OED=90°．
∴O、B、D、E四点共圆．…（5分）
（2）∵DE为圆O的切线，DB为圆O的切线，∴DE=DB
∵三角形BEC是直角三角形
∴DB=DE=DC  
即D是BC的中点  …（8分）
（3）延长DO交圆O于点H，
∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．
可得DE²=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．
∵OH=$\frac{1}{2}$AB，OD为△ABC的中位线，得DO=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE²=DM•（$\frac{1}{2}$AC）+DM•（$\frac{1}{2}$AB），
化简得2DE²=DM•AC+DM•AB  …（12分）

点评 本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．