Question

1．如图，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆交AC与点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆于点M，求证：
（1）O、B、D、E四点共圆；
（2）2DC²=DM•AC+DM•AB．

Answer 1

分析 （1）做出辅助线，首先证明两个三角形全等，根据三角形三边对应相等，得到两个三角形全等，得到对应角相等，从而得到四边形一对对角互补，即四点共圆．
（2）根据圆的切割线定理，写出DE，DM，DH三者之间的关系，把DH写成两部分的和，然后变化成AC，整理系数得到结论成立．

解答 解：（1）如图，连接BE，则BE⊥EC，
又D是BC的中点，所以DE=BD．
又OE=OB，OD=OD，
所以△ODE≌△ODB，
所以∠OBD=∠OED=90°．
故D，E，O，B四点共圆．                         …（5分）
（2）如图，延长DO交圆于点H，
∵DE²=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH，
∴DE²=DM•（$\frac{1}{2}$AC）+DM$•（\frac{1}{2}AB）$，即2DE²=DM•AC+DM•AB，
∵DE=$\frac{BC}{2}$=DC，∴2DC²=DM•AC+DM•AB．…（10分）

点评 本题考查三角形全等，考查四点共圆，考查圆的切割线定理，是一个平面几何的综合题目，解题时注意分析要证明的结论与条件之间的关系．