Question

9．已知定圆C：x²+（y-3）²=4，定直线m；x+3y+6=0，过A（-1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，
（1）当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：l过圆心C；
（2）当|PQ|=2$\sqrt{3}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，求得l的斜率，可得直线l的方程，联立直线m的方程，可得交点N，代入圆心，可得直线l过圆心；
（2）由|PQ|=2$\sqrt{3}$得，圆心C到直线l的距离d=1，设直线l的方程为x-ny+1=0，求得n的值，可得直线l的方程．

解答 解：（1）因为l与m垂直，直线m：x+3y+6=0的斜率为-$\frac{1}{3}$，
所以直线l的斜率为3，
所以l的方程为y-0=3（x+1），即3x-y+3=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+3y+6=0}\\{3x-y+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即有N（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
代入圆心（0，3），有0-3+3=0成立，
所以直线l过圆心C（0，3）．
（2）由|PQ|=2$\sqrt{3}$得，圆心C到直线l的距离d=1，
设直线l的方程为x-ny+1=0，则由d=$\frac{|1-3n|}{\sqrt{1+{n}^{2}}}$=1．
解得n=0，或n=$\frac{3}{4}$，
所以直线l的方程为x+1=0或4x-3y+4=0．

点评 本题主要考查两条直线垂直的性质，点到直线的距离公式，以及直线和圆相交的弦长公式，属于中档题．