Question

14．△ABC的内角A、B、C所对的边为a、b、c，则下列命题正确的是②③．
①若A＜B，则 cos2A＜cos2B       ②若ab＞c²，则C$＜\frac{π}{3}$
③若a+b＞2c，则 C$＜\frac{π}{3}$          ④若（a+b）c＜2ab，则C＞$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 ①和④取满足条件，不满足结论，判断为错误；②利用余弦定理，将c²放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞$\frac{1}{2}$，从而证明C＜$\frac{π}{3}$；③利用余弦定理，将c²放大为（$\frac{a+b}{2}$）²，再结合均值定理即可证明cosC＞$\frac{1}{2}$，从而证明C＜$\frac{π}{3}$．

解答 解：①取A=30°，B=45°，满足A＜B，此时cos2A=cos60°=$\frac{1}{2}$，cos2B=cos90°=0，得到cos2A＞cos2B，故①错误；
②ab＞c²⇒cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{2ab-ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$⇒C＜$\frac{π}{3}$，故②正确；
③a+b＞2c⇒cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{4（{a}^{2}+{b}^{2}）-（a+b）^{2}}{8ab}$≥$\frac{3}{8}$×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$⇒C＜$\frac{π}{3}$，故③正确；
④取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得：C＜$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$，故④错误；
故答案为：②③

点评 此题考查了余弦定理，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．