Question

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对于所有的自然数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项.

(1)写出数列{a_n}的前3项.

(2)求数列{a_n}的通项公式(写出推证过程).

(3)令b_n=(n∈N^*)，求 (b₁+b₂+b₃+…+b_n－n).

Answer 1

(1) 数列的前3项为2，6，10 ，(2) a_n=4n－2 ，(3)1

解析:

(1)由题意，当n=1时，有，S₁=a₁，

∴，解得a₁=2  当n=2时，有，S₂=a₁+a₂，将a₁=2代入，整理得(a₂－2)²=16，由a₂＞0，解得a₂=6.

当n=3时，有，S₃=a₁+a₂+a₃，

将a₁=2，a₂=6代入，整理得(a₃－2)²=64，由a₃＞0，解得a₃=10.

故该数列的前3项为2，6，10.

(2）解法一:由(1）猜想数列{a_n}  有通项公式a_n=4n－2.

下面用数学归纳法证明{a_n}的通项公式是a_n=4n－2，(n∈N^*）.

①当n=1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a₁=2，所以上述结论成立 

②假设当n=k时，结论成立，即有a_k=4k－2，由题意，有，将a_k=4k－2. 代入上式，解得2k=，得S_k=2k²，

由题意，有，S_k+1=S_k+a_k+1，

将S_k=2k²代入得()²=2(a_k+1+2k²)，

整理得a_k+1²－4a_k+1+4－16k²=0，由a_k+1＞0，解得a_k+1=2+4k，

所以a_k+1=2+4k=4(k+1)－2，

即当n=k+1时，上述结论成立.

根据①②，上述结论对所有的自然数n∈N^*成立.

解法二:由题意知，(n∈N^*)  整理得，S_n=(a_n+2)²,

由此得S_n+1=(a_n+1+2)²，∴a_n+1=S_n+1－S_n=［(a_n+1+2)²－(a_n+2)²］.

整理得(a_n+1+a_n）(a_n+1－a_n－4)=0，

由题意知a_n+1+a_n≠0，∴a_n+1－a_n=4，

即数列{a_n}为等差数列，其中a₁=2，公差d=4.

∴a_n=a₁+(n－1)d=2+4(n－1)，即通项公式为a_n=4n－2.

解法三:由已知得,(n∈N^*)　　　　　①，

所以有　　　　　　　　　　　　②，

由②式得，

整理得S_n+1－2·+2－S_n=0，

解得，

由于数列{a_n}为正项数列，而，

因而，

即{S_n}是以为首项，以为公差的等差数列.

所以= +(n－1) =n,S_n=2n²，

故a_n=即a_n=4n－2(n∈N^*).

(3)令c_n=b_n－1，则c_n=