Question

【题目】在△ABC中，AD、BE、CF分别为边BC、CA、AB上的高，作以AD为直径的圆T分别与AC、AB交于点M、N，过点M、N作圆T的切线，交于点P，O为△ABC的外心，延长AO，与BC交于点Q，AD与EF交于点R.证明:PD∥QR

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

设AQ与EF的交点为H，PN、PM与BC分别交于点T、S，联结DE、DF、DH.

注意到，

∠DEF＝∠BEF＋∠BED

＝180°-2∠ABC＝∠BTN＝∠PTS.

类似地，∠DFE＝∠PST

所以，△PTS∽△DEF

又，

且在Rt△DMC、Rt△BND中，分别有

.

从而，.

故∠DHE＝∠PDT.

由P、Q、H、R四点共圆得

∠RHD＝∠RQD.

因此，∠RQD＝∠PDT.

于是，PD∥QR.