Question

【题目】设函数．

（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；

（2）讨论函数零点的个数．

Answer 1

【答案】(1)2;(2)见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；

（2）令g（x）＝0，得到；设，通过讨论m的范围，根据函数的单调性结合函数的草图求出函数的零点个数即可．

解：（1）当m＝e时，，∴

当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上是减函数；

当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在x∈（e，+∞）上是增函；

∴当x＝e时，f（x）取最小值．

（2）∵函数，

令g（x）＝0，得；

设，则′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x﹣1）（x+1）

当x∈（0，1）时，′（x）＞0，（x）在x∈（0，1）上是增函数；

当x∈（1，+∞）时，′（x）＜0，（x）在x∈（1，+∞）上是减函数；

当x＝1是（x）的极值点，且是唯一极大值点，∴x＝1是（x）的最大值点；

∴（x）的最大值为，又（0）＝0结合y＝（x）的图象，

可知：①当时，函数g（x）无零点；

②当时，函数g（x）有且只有一个零点；

③当时，函数g（x）有两个零点；

④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；

综上：当时，函数g（x）无零点；

当或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；

当时，函数g（x）有且只有两个零点；