Question

16．已知$\vec i\;，\;\vec j，\;\vec k$为两两垂直的单位向量，$\overrightarrow{AB}=2\vec i+4\vec j-\vec k$，$\overrightarrow{AC}=-2\vec i+\vec j+\vec k$，则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$夹角的余弦值为-$\frac{\sqrt{14}}{42}$．

Answer 1

分析 根据向量的夹角公式，代入计算即可．

解答 解：∵$\vec i\;，\;\vec j，\;\vec k$为两两垂直的单位向量，$\overrightarrow{AB}=2\vec i+4\vec j-\vec k$，$\overrightarrow{AC}=-2\vec i+\vec j+\vec k$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（2$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{i}$-$\overrightarrow{k}$）（-2$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{k}$）=-4$\overrightarrow{i}$²-$\overrightarrow{k}$²+4$\overrightarrow{i}$²+4$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{k}$-6$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{j}$+3$\overrightarrow{k}•\overrightarrow{j}$=-4-1+4=-1，
∴|$\overrightarrow{AB}$|²=（2$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{i}$-$\overrightarrow{k}$）²=4$\overrightarrow{i}$²+$\overrightarrow{k}$²+16$\overrightarrow{i}$²-4$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{k}$+16$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{j}$-8$\overrightarrow{k}•\overrightarrow{j}$=4+1+16=21，
|$\overrightarrow{AC}$|²=（-2$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{k}$）²=4$\overrightarrow{i}$²+$\overrightarrow{k}$²+$\overrightarrow{i}$²-4$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{k}$-4$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{j}$+2$\overrightarrow{k}•\overrightarrow{j}$=4+1+1=6，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{21}$，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{6}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$-\frac{{\sqrt{14}}}{42}$，
故答案为：-$\frac{\sqrt{14}}{42}$．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和向量的夹角公式，属于中档题．