Question

7．已知函数f（x）对实数x∈R满足f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），若当x∈[0，1）时，f（x）=a^x+b（a＞0，a≠1），f（$\frac{3}{2}$）=1-$\sqrt{2}$．
（1）求x∈[-1，1]时，f（x）的解析式；
（2）求方程f（x）-|log₄x|=0的实数解的个数．

Answer 1

分析 （1）由f（x）+f（-x）=0得出函数为奇函数，f（0）=0，即b=-1，进而求出a=2，根据条件f（x-1）=f（x+1），求出分段函数的解析式；
（2）由f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），可得出f（x+2）=f（x），函数为周期函数，故只需在一个周期内研究函数交点即可．

解答 解：（1）∵f（x）+f（-x）=0，
∴f（0）=0，即b=-1
$又∵f（x-1）=f（x+1），f（\frac{3}{2}）=1-\sqrt{2}$，
∴$f（\frac{3}{2}）=f（-\frac{1}{2}）=-f（\frac{1}{2}）=1-\sqrt{a=}1-\sqrt{2}$
∴a=2
∴当x∈[0，1）时，f（x）=2^x-1
∴当x∈（-1，0]时，-x∈[0，1），
∴f（-x）=2^-x-1，
∴f（x）=-f（-x）=1-2^-x
∵f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1）
∴f（1）=f（-1）=0，
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{2^{-x}}，x∈（{-1，0}]\\ 0，x=-1或1\\{2^x}-1，x∈[{0，1}）\end{array}\right.$
（2）∵f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），
∴f（x）是奇函数，且以2为周期
方程f（x）-|log₄x|=0的实数解的个数也就是函数y=f（x）和y=|log₄x|的交点的个数．
在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图象，由图象得交点个数为2，
所以方程的实数解的个数为2．

点评 考查了奇函数的性质，分段函数解析式的求法和图象法的应用．