Question

19．已知函数f（x）=x²+4[sin（θ+$\frac{π}{3}$）]x-2，θ∈[0，2π]]．
（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求tanθ的值；
（Ⅱ）若f（x）在[-$\sqrt{3}$，1]上是单调函数，求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．
（Ⅱ）利用一元二次函数的单调性的性质进行判断即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
则x²+4[sin（θ+$\frac{π}{3}$）]x-2=x²-4[sin（θ+$\frac{π}{3}$）]x-2，
则sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0，
∵θ∈[0，2π]，
∴θ+$\frac{π}{3}$=kπ，
即θ=-$\frac{π}{3}$+kπ，
∴tanθ=tan（-$\frac{π}{3}$+kπ）=-$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）∵f（x）=x²+4[sin（θ+$\frac{π}{3}$）]x-2，θ∈[0，2π]]．
∴对称轴为x=-2sin（θ+$\frac{π}{3}$），
若f（x）在[-$\sqrt{3}$，1]上是单调函数，
则-2sin（θ+$\frac{π}{3}$）≥1或-2sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤$-\sqrt{3}$，
即sin（θ+$\frac{π}{3}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$或sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤$-\frac{1}{2}$，
即2kπ+$\frac{π}{3}$≤θ+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，或2kπ+$\frac{7π}{6}$≤θ+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z，
即2kπ+$\frac{5π}{6}$≤θ≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，或2kπ≤θ≤2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∵θ∈[0，2π]，
∴$\frac{5π}{6}$≤θ≤$\frac{3π}{2}$，或0≤θ≤$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查函数奇偶性应用以及三角函数的恒等变换，利用条件转化为函数问题是解决本题的关键．