Question

1．设a为实数．函数f（x）=x³-ax²+（a²-1）x在（-∞，0）上是增函数．求a的取值范围．

Answer 1

分析 对函数f（x）进行求导得到一个二次函数，根据二次函数的图象和性质令f'（x）≥0在（-∞，0）恒成立即可得到结论．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax+（a²-1），其判别式△=4a²-12a²+12=12-8a²．
①若△=12-8a²≤0，即a²≥$\frac{3}{2}$，即a≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$或a≤-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
恒有f′（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）为增函数，此时满足条件．
即a∈（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）；
②若△12-8a²＞0，即-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
令f′（x）=0，
解得x₁=$\frac{a-\sqrt{3-2a^{2}}}{3}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{3-2a^{2}}}{3}$．
当x∈（-∞，x₁），或x∈（x₂，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
要使f（x）=x³-ax²+（a²-1）x在（-∞，0）上是增函数．
则x₁≥0得a≥$\sqrt{3-2a^{2}}$，解得1≤a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
综上a≤-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或a≥1．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，根据函数单调性转化为f′（x）≥0恒成立是解决本题的关键．注意要对判别式△进行讨论．