Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx+cosx，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{b}$=（-$\sqrt{2}$cosx，$\frac{1}{2}$），设f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=-sin（2x+$\frac{π}{4}$），利用正弦函数的周期公式、单调性即可得出；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，再利用正弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
=-$\sqrt{2}$sinxcosx-$\sqrt{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\sqrt{2}$×$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=-sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得单调递减区间为：[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴函数f（x）=-sin（2x+$\frac{π}{4}$）的值域为：[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的周期公式、单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．