Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-

3

)，(0，

3

)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时

OA

⊥

OB

？此时|

AB

|的值是多少？．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆．从而写出其方程即可；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时|

AB

|的值，从而解决问题．

解答：解：
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-

3

)，(0，

3

)为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴b=

22-( 3 )2

=1，
故曲线C的方程为x2+

y2

4

=1．（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

．（6分）

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=

-4k2+1

k2+4

．
所以k=±

1

2

时，x₁x₂+y₁y₂=0，故

OA

⊥

OB

．（8分）
当k=±

1

2

时，x1+x2=?

4

17

，x1x2=-

12

17

．

|AB|

=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)(x2-x1)2

，
而（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=

42

172

+4×

4×3

17

=

43×13

172

，
所以

|AB|

=

4 65

17

．（12分）

点评：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．