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    （2013•泉州模拟）已知F（0，1）是中心在坐标原点O的椭圆C的一个焦点，且椭圆C的离心率e为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设：M（x1，y1）、N（x2，y2）为椭圆C上不同的点，直线MN的斜率为k1；A是满足
    OM
    +
    ON
    =λ
    OA
    （λ≠0）的点，且直线OA的斜率为k2．
    ①求k1•k2的值；
    ②若A的坐标为（
    3
    2
    ，1），求实数λ的取值范围．
    分析：（I）依题意，可设椭圆C的方程为
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1    （a＞b＞0），由c=1，e=
    c
    a
    =
    1
    2
    ，a2=b2+c2，解出即可；
    （II）解法一：①由M（x1，y1）、N（x2，y2）且k1存在，利用斜率计算公式和
    OM
    +
    ON
    =λ
    OA
    ，λ≠0且k2存在，可得k2=
    y2+y1
    x2+x1
    ，进而得到k1•k2，把M（x1，y1），N（x2，y2）椭圆方程，即可得到k1•k2的值；
    ②若A的坐标为(
    3
    2
    ，1)    ，则k2=
    2
    3
    ，利用①可得k1=-2．设直线MN：y=-2x+m（m∈R），与椭圆的方程联立得到根与系数的关系x1+x2=
    3m
    4
    ．
    由
    OM
    +
    ON
    =λ
    OA
    ，代入可得x1+x2=
    3
    2
    λ    ，m=2λ．再利用△＞0，即可得到λ的取值范围．
    解法二：①设直线MN：y=k1x+m（m∈R），M（x1，y1）、N（x2，y2），得若m=0，则x1+x2=0，由A满足
    OM
    +
    ON
    =λ
    OA
    （λ∈R，λ≠0），得xA=0，
    由直线OA的斜率k2存在，∴m≠0．与椭圆的方程联立可得，得到根与系数的关系，再利用满足
    OM
    +
    ON
    =λ
    OA
    ，及斜率的计算公式即可得出．
    解答：解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆C的方程为
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1    （a＞b＞0），
    由c=1，e=
    c
    a
    =
    1
    2
    ，得a=2，
    由b2=a2-c2，可得b2=3，
    故椭圆C的方程为
    y2
    4
    +
    x2
    3
    =1    ．
    （Ⅱ）解法一：①由M（x1，y1）、N（x2，y2）且k1存在，得k1=
    y2-y1
    x2-x1
    ，
    由
    OM
    +
    ON
    =λ
    OA
    ，λ≠0且k2存在，得k2=
    y2+y1
    x2+x1
    ，
    则k1•k2=
    y2+y1
    x2+x1
    •
    y2-y1
    x2-x1
    =
    y
    2
    2
    -
    y
    2
    1
    x
    2
    2
    -
    x
    2
    1
    ．
    ∵M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上，∴
    y
    2
    1
    4
    +
    x
    2
    1
    3
    =1    ，
    y
    2
    2
    4
    +
    x
    2
    2
    3
    =1    ，
    两式相减得
    y
    2
    2
    -
    y
    2
    1
    4
    +
    x
    2
    2
    -
    x
    2
    1
    3
    =0    ，
    y
    2
    2
    -
    y
    2
    1
    x
    2
    2
    -
    x
    2
    1
    =-
    4
    3
    ，
    ∴k1•k2=-
    4
    3
    ．
    ②若A的坐标为(
    3
    2
    ，1)    ，则k2=
    2
    3
    ，由①可得k1=-2．
    设直线MN：y=-2x+m（m∈R），
    由
    y=-2x+m
    y2
    4
    +
    x2
    3
    =1
    得16x2-12mx+3m2-12=0，
    所以x1+x2=
    3m
    4
    ．
    ∵
    OM
    +
    ON
    =λ
    OA
    ，∴x1+x2=
    3
    2
    λ    ，m=2λ．
    又由△=（-12m）2-4•16•（3m2-12）＞0，解得-4＜m＜4，
    ∴-2＜λ＜2且λ≠0．
    解法二：①设直线MN：y=k1x+m（m∈R），
    若m=0，则x1+x2=0，
    由A满足
    OM
    +
    ON
    =λ
    OA
    （λ∈R，λ≠0），得xA=0，
    ∵直线OA的斜率k2存在，∴m≠0．
    由
    y=k1x+m
    y2
    4
    +
    x2
    3
    =1
    得(4+3
    k
    2
    1
    )x2+6k1mx+3m2-12=0    …（*）．
    ∵M（x1，y1）、N（x2，y2），∴x1+x2=-
    6k1m
    4+3
    k
    2
    1
    ．
    ∵y1+y2=k1（x1+x2）+2m，A满足
    OM
    +
    ON
    =λ
    OA
    ，
    ∴直线OA的斜率k2=
    y1+y2
    x1+x2
    =k1+
    2m
    x1+x2
    =k1-
    4+3
    k
    2
    1
    3k1
    ，
    经化简得k1•k2=-
    4
    3
    ．
    ②若A的坐标为(
    3
    2
    ，1)    ，则k2=
    2
    3
    ，由①可得k1=-2．
    ∴方程（*）可化为16x2-12mx+3m2-12=0，
    下同解法一．
    点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的运算等基础知识，考查分类讨论思想方法、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．
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    OA
    •
    OB
    =-
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求AB边的长及角C的大小；
    （Ⅱ）从圆O内随机取一个点M，若点M取自△ABC内的概率恰为
    3
    		3
    4π
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