Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，求证k₁+k₂=0．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设出椭圆的标准方程，根据题意联立方程组，求得a和b，椭圆的方程可得．
（2）由点斜式设出直线l的方程与椭圆方程联立消去y，根据判别式大于0求得k的范围．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由根据韦达定理，分别求得x₁+x₂和x₁x₂进而表示出k₁和k₂，进而可求得k₁+k₂．
解答：解：（1）设椭圆方程为=1
则解得a²=8，b²=2
∴椭圆方程为
（2）∵直线l平行与OM，且在一轴上的截距为m，由k_OM=
∴l的方程为y=x+m
由直线方程与椭圆方程联立消去y得x²+2mx+2m²-4=0
∵直线l与椭圆交与A，B两个不同点
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0
解得-2＜m＜2，且m≠0
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由x²+2mx+2m²-4=0可得
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
则k₁=，k₂=
而k₁+k₂=+===0
∴k₁+k₂=0，
故得证．
点评：本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．