Question

14．解关于x的不等式$\frac{a（x-1）}{x-2}$＞2（其中a≤1）

Answer 1

分析 首先移项通分化不等式为$\frac{（a-2）x-（a-4）}{x-2}＞0$，根据a 的范围讨论$\frac{a-4}{a-2}$与2的大小关系，得到不等式的解集．

解答 解：原不等式等价于$\frac{a（x-1）-2x-4}{x-2}＞0$即$\frac{（a-2）x-（a-4）}{x-2}＞0$，因为a≤1，所以等价于$\frac{x-\frac{a-4}{a-2}}{x-2}＜0$，
当$\frac{a-4}{a-2}$＞2即0＜a≤1时，不等式的解集为（2，$\frac{a-4}{a-2}$）；
当$\frac{a-4}{a-2}=2$即a=0时，不等式的解集为∅；
当$\frac{a-4}{a-2}＜2$即a＜0时，不等式的解集为（$\frac{a-4}{a-2}$，2）．
综上0＜a≤1时不等式的解集为（2，$\frac{a-4}{a-2}$）；
当a=0时，不等式的解集为∅；
当a＜0时，不等式的解集为（$\frac{a-4}{a-2}$，2）．

点评 本题考查了分式不等式的解法以及讨论的数学思想的运用；不重不漏的讨论是关键．