Question

13．若x+y=2，x＞0，y＞0，$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值为$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由x+y=2，得到$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{2}$=1，由$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$≥$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{\frac{y}{2x}•\frac{x}{y}}$，求出最小值即可．

解答 解：若x+y=2，
则$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{2}$=1，
x＞0，y＞0，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$
=（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）（$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{2}$）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{y}{2x}$+$\frac{x}{y}$
≥$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{\frac{y}{2x}•\frac{x}{y}}$
=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$
=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当$\frac{y}{2x}$=$\frac{x}{y}$
即x=2$\sqrt{2}$-2，y=4-2$\sqrt{2}$时“=”成立，
故答案为：$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，是一道基础题．