Question

4．设函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{2+{4}^{x}}$，
（1）证明：函数f（x）是R上的增函数；
（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1；
（3）求值：$f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{3}{2015}）+…+f（\frac{2013}{2015}）+f（\frac{2014}{2015}）$．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数的单调性的定义证明即可．
（2）代入函数的解析式，利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．
（3）利用（2）的结果，配对求解即可．

解答 解：（1）证明：设任意x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{4}^{{x}_{1}}}{2+{4}^{{{x}_{1}}_{\;}}}$-$\frac{{4}^{{x}_{2}}}{2+{4}^{{{x}_{2}}_{\;}}}$=$\frac{{2（4}^{{x}_{1}}-{4}^{{x}_{2}}）}{（2+{4}^{{{x}_{1}}_{\;}}）（2+{4}^{{{x}_{2}}_{\;}}）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${4}^{{x}_{1}}＜{4}^{{x}_{2}}$，${4}^{{x}_{1}}-{4}^{{x}_{2}}＜0$，又表达式的分母为正；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数     （4分）
（2）对任意t，f（t）+f（1-t）=$\frac{{4}^{t}}{2+{4}^{t}}$+$\frac{{4}^{1-t}}{2+{4}^{1-t}}$=$\frac{{4}^{t}}{2+{4}^{t}}$+$\frac{4}{4+2•{4}^{t}}$=$\frac{{2+4}^{t}}{2+{4}^{t}}$=1
∴对于任意t，f（t）+f（1-t）=1       （8分）

（3）由（2）知$\begin{array}{c}f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2014}{2015}）=f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{2013}{2015}）=…=f（\frac{1012}{2015}）+f（\frac{1013}{2015}）=1\end{array}\right.$，$故f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{3}{2015}）+…+f（\frac{2014}{2015}）=1002（12分）$

点评 本题考查函数与方程的应用，函数的单调性的证明以及函数的值的求法，考查分析问题解决问题的能力．