Question

15．设正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂₀₁₅=2015，则$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{{{a_{2014}}}}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 由已知条件利用等差数列的性质得a₂+a₂₀₁₄=2，由此利用均值定理能求出$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{{{a_{2014}}}}$的最小值．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n＞0，且S₂₀₁₅=2015，
∴a₁+a₂₀₁₅=a₂+a₂₀₁₄=2，
∴a₂•a₂₀₁₄≤$（\frac{{a}_{2}+{a}_{2014}}{2}）^{2}$=1，
∴$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{{{a_{2014}}}}$=$\frac{{a}_{2014}+{a}_{2}}{{a}_{2}•{a}_{2014}}$=$\frac{2}{{a}_{2}•{a}_{2014}}$≥2，
当且仅当a₂=a₂₀₁₄=1时取等号，
∴$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{{{a_{2014}}}}$的最小值为2．
故选：B．

点评 本题考查等差数列中两项倒数和的最小值的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质和均值定理的合理运用．