Question

6．下列几个命题，其中正确的有（1）（2）（3）（4）（5）（请把正确命题的所有序号都写上！）
（1）函数$y=\frac{{\sqrt{x+1}}}{x}$的定义域为{x|x≥-1但x≠0}；
（2）已知f（x）=ax²+bx是定义在[b-1，2b]上的奇函数，那么$a+b=\frac{1}{3}$；
（3）已知f（x）=ax⁵+bx³+cx-8，且f（2013）=2016，则f（-2013）=-2032；
（4）函数y=|x²-3x+2|的图象和直线y=m有两个公共点，则m的范围是$\left\{0\right\}∪（\frac{1}{4}，+∞）$；
（5）定义在R上的函数f（x）的值域是[-1，2]，则函数f（x+2013）的值域仍为[-1，2]．

Answer 1

分析 求出函数的定义域，可判断（1）；根据奇函数的定义，求出a，b值，可判断（2）：构造奇函数g（x）=f（x）+8，进而求出f（-2013），可判断（3）；画出函数y=|x²-3x+2|的图象，数形结合，可判断（4）；根据左右平移变换不改变函数的值域，可判断（5）．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}x+1≥0\\ x≠0\end{array}\right.$得：x≥-1但x≠0，故（1）函数$y=\frac{{\sqrt{x+1}}}{x}$的定义域为{x|x≥-1但x≠0}正确；
若f（x）=ax²+bx是定义在[b-1，2b]上的奇函数，则a=0，b-1+2b=0，即a=0，b=$\frac{1}{3}$，故（2）$a+b=\frac{1}{3}$正确；
令g（x）=f（x）+8=ax⁵+bx³+cx，则g（x）为奇函数，由f（2013）=2016可得g（2013）=2024，进而g（-2013）=-2024，故（3）f（-2013）=-2032正确；
函数y=|x²-3x+2|的图象如下图所示：

由图可得：m∈$\left\{0\right\}∪（\frac{1}{4}，+∞）$时，函数y=|x²-3x+2|的图象和直线y=m有两个公共点，故（4）正确；
函数f（x+2013）的图象由函数f（x）的图象向左平移2013个单位得到，值域不变，故（5）正确；
故正确的命题为：（1）（2）（3）（4）（5），
故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的定义域，值域，平移变换，奇偶性，零点，等知识点，难度中档．