Question

16．函数f（x）=|x²-a²|（a＞0），f（m）=f（n），且m＜n＜0，若点P（m，n）到直线x+y-8=0的最大距离为$6\sqrt{2}$时，则a的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题意f（x）=|x²-a²|，利用绝对值的定义，可得m²+n²=2a²，利用基本不等式，结合点P（m，n）到直线x+y-8=0的最大距离为$6\sqrt{2}$时，即可求出a的值．

解答 解：y=f（x）=|x²-a²|
∵f（m）=f（n），且m＜n＜0，
∴-a＜n＜0，n＜-a．
∴a²-m²=n²-a²，即m²+n²=2a²，
∴4a²≥（m+n）²，
∴-2a≤m+n＜0，
点P（m，n）到直线x+y-8=0的距离为$\frac{|m+n-8|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{2a+8}{\sqrt{2}}$，
∵点P（m，n）到直线x+y-8=0的最大距离为$6\sqrt{2}$，
∴$\frac{2a+8}{\sqrt{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∵a＞0，
∴a=2，
故选：B．

点评 此题考查了利用绝对值的定义脱去绝对值，点到直线的距离公式，基本不等式的运用，属于中档题．