Question

已知函数f（x）=

x2+x+1

1+x2

+a（ a∈R）是奇函数，则f（x）的最大值为

1

2

．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）=

x2+x+1

1+x2

+a是奇函数，我们根据奇函数的性质，可以求出a的值，进而求出函数f（x）的解析式，结合基本不等式即可求出f（x）的最大值．

解答：解：若函数f（x）=

x2+x+1

1+x2

+a（ a∈R）是奇函数，
由于函数的定义域为R
∴f（0）=0
则a=-1
∴f（x）=

x2+x+1

1+x2

-1=

x

1+x2

=

1

1 x +x

∵

1

x

+x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）
∴f（x）∈[-

1

2

，0）∪（0，

1

2

]
故函数f（x）的最大值为

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，函数奇偶性的性质，其中函数奇偶性的性质，求出参数a的值，是解答本题的关键．