Question

已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．
（1）设f（x）=cosx+sinx，α=

π

2

，求g（x）的解析式；
（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得g（x）=2xosx（cosx+

3

sinx）；
（3）a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，a=2，若g（x）=2cosx（cosx+

3

sinx），且x=

A

2

时g（x）取得最大值，求当g（x）取得最大值时b+c的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）直接利用三角函数诱导公式进行变换应用．
（2）先对关系式进行变换然后利用拼凑法进行应用求出结果．
（3）先对函数进行变换求出函数的正弦形形式，进一步利用最大值求出A的大小，再利用关系式的应用转化，利用正弦定理求出函数的正弦形式，进一步利用正弦型函数求出结果．

解答： 解：（1）已知f（x）=cosx+sinx，
则：f（x+

π

2

）=cosx-sinx，
则：g（x）=f（x）f（x+

π

2

）=cos²x-sin²x=cos2x；
（2）g（x）=2cosx（cosx+

3

sinx）=4cosxcos（x-

π

3

），
若f（x）=2cosx，则f（x+α）=f（x-

π

3

）=2cos（x-

π

3

），
则：α=-

π

3

，
f（x）=2cosx；
（3）g（x）=2cosx（cosx+

3

sinx）=2sin（2x+

π

6

）+1，
且当x=

A

2

时，g（x）的最大值为3．，
所以：A+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
由于A是三角形的内角，则0＜A＜π，
所以：A=

π

3

．
由正弦定理得：b=

4 3

3

sinB，c=

4 3

3

sinC，
b+c=

4 3

3

sinB+

4 3

3

sinC，
=4sin（B+

π

6

）．
由于0＜B＜

2π

3

，
所以：sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]，
所以：b+c∈（2，4]．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三家函数的性质的应用，解三角形中正弦定理的应用．属于基础题型．