Question

若函数f（x）=x³-ax²（a＞0）在区间(

20

3

，+∞)上是单调递增函数，则使方程f（x）=1000有整数解的实数a的个数是______．

Answer 1

对f（x）求导得f'（x）=3x²+2ax
令f'（x）≥0以求原函数的单调增区间得3x²+2ax≥0，解得x≤0或x≥（2/3）a．
令f'（x）≤0以求原函数的单调减区间得3x²+2ax≤0，解得0≤x≤（2/3）a．
由题意知，区间（

20

3

，+∞）处于增区间，故

2

3

a≤

20

3

，结合已知条件a＞0，解得0＜a≤10．
令f（x）=0解得x=0或x=a．
结合上面的分析可知，在（-∞，a]上，f（x）≤0，在（a，+∞）上，f（x）＞0，所以f（x）=1000的解只能在（a，+∞）上．
由x³-ax²=1000，变形得a=x-

1000

x2

，
记g（x）=x-

1000

x2

，因为0＜a≤10，所以0＜g（x）≤10．
观察知，g（x）在x＞0上是增函数（求导也可得出），
经试算，有g（10）=0，g（14）=8+

44

49

，g（15）=10+

5

9

，可见0＜g（x）≤10的解在区间（10，15）上，所以x的整数解只可能是11、12、13、14共4个，
而a=g（x），g（x）为增函数，所以相应地，a值也只有4个
故答案为4