Question

【题目】已知函数（为常数）的图象在处的切线方程为.

（1）判断函数的单调性；

（2）已知，且，若对任意，任意， 与中恰有一个恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递减.（2）

【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，利用列方程组，可求得，代回函数的导函数可得函数导数恒小于零，故函数在定义域上递减.（2）由（1）知函数在上的最小值为，最大值为，故原不等式等价于或，分离常数得，或对任意恒成立，利用导数求得的最大值，利用二次函数求最值的方法求得的最小值，由此可求得的取值范围.

试题解析：（1）∵函数的定义域为，

∴，由条件得，

把代入得，∴，即， .

∴， .

∵，∴，∴在上单调递减.

（2）由（1）知， 在上单调递减，

∴在上的最小值为，最大值为，

∴只需或，

即或对任意恒成立.

令，则，

令得，而恒成立，

∴当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增.

∴的最大值为.而， ，显然，

∴在上的最大值为，又，

∴或，即或.

∴实数的取值范围是.