Question

【题目】已知椭圆的离心率为，抛物线与椭圆在第一线象限的交点为．

（1）求曲线、的方程；

（2）在抛物线上任取一点，在点处作抛物线的切线，若椭圆上存在两点关于直线对称，求点的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）根据离心率可得，再将点分别代入两个曲线，求得曲线方程；（2）首先设，根据导数的几何意义求切线的方程，设椭圆上关于l对称的两点为，，那么设直线的方程，，转化为直线与椭圆有交点，并且的中点落在切线上的问题，最后根据，求得的范围.

解：（1）由已知得：，所以．把代入椭圆，

解得，所以，得椭圆．

把代入抛物线得，

所以抛物线．

（2）设点，抛物线，所以，所以切线.

设椭圆上关于l对称的两点为，.

（1）当时，设直线.

代入椭圆得：．

，化简得.……（*）

，所以MN的中点Q的横坐标，纵坐标.

要使M，N关于直线l对称，则点Q在直线l上，即，

化简得：，代入（*）式解得.

（2）当时，显然满足要求.

综上所述：，所以点P的纵坐标的取值范围是.