Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

（x∈R）．
（1）判定函数f（x）的奇偶性；
（2）判定函数f（x）在R上的单调性，并证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判定函数f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在R上的单调性．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为R，
f（-x）=

2-x-1

2x+1

=

1-2x

2x+1

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
故函数f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）在R上的单调递增．
证明：设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+2)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）在R上的单调递增．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．