Question

若函数f（x），g（x）满足g（x-y）=g（x）g（y）+f（x）f（y），并且f（0）=0，f（-1）=-1，f（1）=1．
（1）证明：f²（x）+g²（x）=g（0）．
（2）求g（0），g（1），g（-1），g（2）的值．
（3）判断f（x），g（x）的奇偶性．

Answer 1

（1）证明：令y=x，g（0）=f²（x）+g²（x）；
（2）∵g（0）=g²（0）+f²（0），
∴g（0）=0或1；
若g（0）=0，则由（1）可知f（x）=g（x）=0，与题设矛盾，
故g（0）=1．
又g（0）=g（1）g（1）+f（1）f（1），
g（0）=g（-1）g（-1）+f（-1）f（-1），
故g（1）=0，g（-1）=0，令x=1，y=-1，
g（2）=g（1）g（-1）+f（1）f（-1），g（2）=-1．
（3）g（y-x）=g（y）g（x）+f（y）f（x）=g（x-y），
故g（x）是偶函数；
用-x，-y 替换x，y，g（y-x）=g（-x）g（-y）+f（-x）f（-y），g（x）是偶函数，
与原式联立可得f（-x）f（-y）=f（x）f（y），令y=1，可得f（x）=-f（-x）．
∴f（x）是奇函数．