Question

12．若函数f（x）=x+ln$\sqrt{x}$在区间[a，b]的值域为[ta，tb]，则实数t的取值范围是（1，1+$\frac{1}{2e}$）．

Answer 1

分析 由复合函数的单调性可得f（x）在定义域上为单调增函数，结合函数f（x）=x+ln$\sqrt{x}$在区间[a，b]的值域为[ta，tb]，可得ln$\sqrt{a}$+a=ta，ln$\sqrt{b}$+b=tb，即a，b为方程ln$\sqrt{x}$+x=tx的两个不同根．即t=1+$\frac{ln\sqrt{x}}{x}$有两个不同根，令g（x）=1+$\frac{ln\sqrt{x}}{x}$，利用导数研究其单调性并求得极值，数形结合可得t的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x+ln$\sqrt{x}$的定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域上为单调增函数，
又函数f（x）=x+ln$\sqrt{x}$在区间[a，b]的值域为[ta，tb]，
∴f（a）=ta，f（b）=tb，
即：ln$\sqrt{a}$+a=ta，ln$\sqrt{b}$+b=tb，即a，b为方程ln$\sqrt{x}$+x=tx的两个不同根．
∴t=1+$\frac{ln\sqrt{x}}{x}$有两个不同根，
令g（x）=1+$\frac{ln\sqrt{x}}{x}$，则g'（x）=$\frac{\frac{1}{2}•\frac{1}{\sqrt{x}}•\frac{1}{\sqrt{x}}•x-ln\sqrt{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}-ln\sqrt{x}}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=0，得$\frac{1}{2}-ln\sqrt{x}=0$，得x=e．
∴当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上为增函数，在（e，+∞）上为减函数．
可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=1+$\frac{1}{2e}$，
又当x→0⁺时，g（x）→-∞，当x→∞时，g（x）→1，
因此当1＜t＜1+$\frac{1}{2e}$时，直线y=t与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程 t=1+$\frac{lnx}{x}$有两个解．
故所求的t的取值范围为（1，1+$\frac{1}{2e}$），
故答案为：（1，1+$\frac{1}{2e}$）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查根的存在性及根的个数判断，体现了数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．