Question

（本小题满分12分）已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线

（1）求曲线方程；

（2）点为直线：上任意一点，过作曲线的切线，切点分别为，求证：直线 恒过定点，并求出该定点．

 

Answer 1

（1）；（2）定点为（2,2）

【解析】

试题分析：（1）求圆心的轨迹方程，设圆心的坐标为（x，y），根据圆的半径处处相等，可得圆心到M的距离等于圆心到圆与x轴交点的距离，因此列出等式，（2）设切点P，Q分别为，点A的坐标为，由，求导可知斜率为，故可将两条切线分别求出来，又因为点A经过两条切线，将A点坐标代入，可得出PQ的直线方程，因此直线方程恒经过点（2,2）。

试题解析：（1）设动圆圆心坐标为，根据题意得，

化简得．。。。。。。。。。。。。。。。4分

（2）设在直线上，点在抛物线上，

则以点为切点的切线的斜率为，（现在用直线与抛物线联立判别式等于0）

其切线方程为即

同理以点为切点的方程为

又两条切线的均过点，则，。。。。。。。。。。。。。。8分

点的坐标均满足方程，即直线的方程为：

因为，所以直线的方程为，故直线恒过点。。。。。12分

考点：?求抛物线的标准方程?用求导的方法求曲线的斜率?直线过定点的求法