Question

已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1、a_2k是关于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₃，a₅，a₇及写出a_2n（n∈N^*且n≥4）（不必证明）；
（Ⅱ）对于任意n∈N^*且n≥4，猜想a_2n与（2n）²的大小关系．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）首先因式分解求得方程的两根，由条件a_2k-1≤a_2k写出当k=1，2，3，4时相邻两项，
（Ⅱ）n取值进行计算，即可猜想a_2n与（2n）²的大小关系．

解答： 解：（Ⅰ）方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根为x1=3k，x2=2k．
当k=1时，x₁=3，x₂=2，所以a₁=2；   当k=2时，x₁=6，x₂=4，所以a₃=4；
当k=3时，x₁=9，x₂=8，所以a₅=8；  当k=4时，x₁=12，x₂=16，所以a₇=12；
因为n≥4时，2ⁿ＞3n，所以a2n=2n(n≥4)…（6分）
（Ⅱ）当n=4时，a2n=24=16 ＜ 82 =(2n)2；   
当n=5时，a2n=25=32 ＜ 102 =(2n)2；
当n=6时，a2n=26=64 ＜ 122 =(2n)2；   
当n=7时，a2n=27=128 ＜ 142 =(2n)2；
当n=8时，a2n=28=256 = 162 =(2n)2；   
当n=9时，a2n=29=512 ＜ 182 =(2n)2；
所以猜想：当4≤n＜7时，a2n＜(2n)2；     
当n=8时，a2n=(2n)2；
当n≥9时，a2n＞(2n)2；…（12分）

点评：本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．对于此类问题要认真审题、冷静解析，加上扎实的基本功就可以解决问题．