Question

8．函数y=（acosx+bsinx）cosx有最大值2，最小值-1，则实数（ab）²的值为（　　）

• A． 1
• B． 8
• C． 9
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 运用二倍角的正弦公式和余弦公式和辅助角公式，结合正弦函数的值域，可得最值，解方程可得a，b，进而得到所求值．

解答 解：函数y=（acosx+bsinx）cosx
=a•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{bsin2x}{2}$
=$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$（acos2x+bsin2x）
=$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2x+θ）（θ为辅助角），
则f（x）的最大值为$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，最小值为$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由题意可得$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2，且$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=-1，
解得a=1，b=±2$\sqrt{2}$，
则（ab）²=（±2$\sqrt{2}$）²=8．
故选：B．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，考查辅助角公式和正弦函数的值域的运用，以及化简运算能力，属于中档题．