Question

已知f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），求g（x）=f²（x）+f（x²）的值域．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：换元t=log₂x，g（x）=（1+log₂x）²+1+2log₂x求解即可．

解答： 解：∵f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），g（x）=f²（x）+f（x²）=（1+log₂x）²+1+2log₂x
∴g（x）=（log₂x）²+4log₂x+2，1≤x≤2
设t=log₂x则h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1
∵对称轴t=-2，h（t）在[0，1]为增函数，h（0）=2，h（1）=7
∴h（t）=t²+4t+2，0≤t≤2值域为[2，7]
即g（x）=f²（x）+f（x²）的值域为[2，7]

点评：本题考察了换元法转化为二次函数求值域问题，注意自变量的范围．