【题目】设函数.
(1)当时,试求
的单调增区间;
(2)试求在
上的最大值;
(3)当时,求证:对于
恒成立.
【答案】(1) ;(2)详见解析; (3)详见解析.
【解析】试题分析:(1)当时,
,
,当
,得
,所以
的单调增区间为
;(2)
,
,得
,讨论
,
,
,利用函数在区间
上的单调性可以求出函数
在
上的最大值;(3)当
时,设函数
,则问题转化为证明对于
,
,利用导数研究函数
在区间
的单调性,从而证明
成立,于是问题得证.
试题解析:(1)由,得
.当
时,
,令
,得
.所以
的单调增区间为
.
(2)令,得
,所以当
时,
时,
恒成立,
单调递增;当
时,
时,
恒成立,
单调递减;当
时,
时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增,综上,无论
为何值,当
时,
最大值都为
或
.
,
,所以当
时,
,
当时,
.
(3)令,所以
,所以
,令
,
解得,所以当
时,
单调递减;当
时,
单调递增,所以当
时,
,所以函数
在
上单调递增,所以
,所以
恒成立.
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【题目】为了了解高三学生的数学成绩,抽取了某班60名学生,将所得数据整理后,画出如图所示的频率分布直方图,已知从左到右各长方形高的比为2:3:5:6:3:1,则该班学生数学成绩在[100,120]之间的学生人数是( )
A.32
B.24
C.18
D.12
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【题目】设圆的圆心为
,直线
过点
且不与
轴、
轴垂直,且与圆
于
,
两点,过
作
的平行线交直线
于点
.
(1)证明为定值,并写出点
的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,直线
交
于
两点,过
且与
垂直的直线与圆
交于
两点,求
与
的面积之和的取值范围.
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【题目】(本小题满分12分)
某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示:
| 甲产品 | 乙产品 | 资源限额 |
煤(t) | 9 | 4 | 360 |
电力(kw·h) | 4 | 5 | 200 |
劳力(个) | 3 | 10 | 300 |
利润(万元) | 7 | 12 |
问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利润总额最大?
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【题目】某单位附近只有甲、乙两个临时停车场,它们各有个车位,为了方便市民停车,某互联网停车公司对这两个停车场,在某些固定时刻的剩余停车位进行记录,如下表:
时间 停车场 |
|
|
|
|
|
|
甲停车场 | ||||||
乙停车场 |
如果表中某一时刻剩余停车位数低于该停车场总车位数的,那么当车主驱车抵达单位附近时,该公司将会向车主发出停车场饱和警报.
(1)假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同,求他收到甲停车场饱和警报的概率;
(2)从这六个时刻中任选一个时刻,求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率;
(3)当乙停车场发出饱和警报时,求甲停车场也发出饱和警报的概率.
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【题目】已知数列{an}中,a1=2,an+1﹣an﹣2n﹣2=0(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 ,若对任意的正整数n,当m∈[﹣1,1]时,不等式
恒成立,求实数t的取值范围.
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【题目】设函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<
)的图象关于直线x=
对称,它的周期是π,则以下结论正确的个数( )
(1)f(x)的图象过点(0,)
(2)f(x)的一个对称中心是(,0)
(3)f(x)在[,
]上是减函数
(4)将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象.
A.4
B.3
C.2
D.1
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