Question

【题目】解答题。
（1）已知 是奇函数，求常数m的值；
（2）画出函数y=|3x﹣1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x﹣1|=k无解？有一解？有两解？

Answer 1

【答案】
（1）解：因为3x﹣1≠0x≠0．故函数定义域为{x|x≠0}．

因为函数为奇函数，故有f（﹣1）=﹣f（1） m=1．

所以所求常数m的值为1

（2）解：因为函数的零点即为对应两个函数图象的交点．所以把研究零点个数问题转化为研究图象交点个数．

当k＜0时，直线y=k与函数y=|3x﹣1|的图象无交点，即方程无解；

当k=0或k≥1时，直线y=k与函数y=|3x﹣1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；

当0＜k＜1时，直线y=k与函数y=|3x﹣1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．

【解析】（1）先求出函数的定义域，再利用奇函数的定义，代入一对相反变量即可直接求常数m的值；（2）先取绝对值画出对应图象，再利用函数的零点即为对应两个函数图象的交点把y=k在图象上进行来回平移看交点个数即可找到结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数奇偶性的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．