Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1．
（1）若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使f（x）在（﹣1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2﹣a，

要使f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，需3x2﹣a≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，

即a≤3x2在（﹣∞，+∞）上恒成立，∴a≤0．

因此当 f（x）在（﹣∞，+∞） 上单调递增时，a 的取值范围是（﹣∞，0]

（2）解：若f（x）在（﹣1，1）上单调递减，

则对于任意 x∈（﹣1，1），不等式f′（x）=3x2﹣a≤0 恒成立，即 a≥3x2，

又 x∈（﹣1，1）时，3x2＜3，∴a≥3，

∴函数 f（x）在（﹣1，1）上单调递减，实数a的取值范围是[3，+∞）

【解析】（1）求出原函数的导函数，由导函数在（﹣∞，+∞）上大于等于0恒成立，分离参数a得答案；（2）求出原函数的导函数，分离参数a，求得3x2在（﹣1，1）上的最大值得答案．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．