Question

【题目】已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原原点，点O到直线AB的距离为，的面积为1．

（1）求榷圆的标准方程；

（2）直线与椭圆交于C，D两点，若直线直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为证明：为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由椭圆的几何性质，求得直线AB的方程， 根据点到直线的距离公式和三角形OAB的面积为1，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，结合斜率公式，化简得，代入即可求解.

（1）由椭圆的右顶点为，上顶点为，

可得直线AB的方程为，即，

则点O到直线AB的距离，即， ①

因为三角形OAB的面积为1，所以，即， ②

由①②，可解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）可得，所以直线AB的斜率为，

设直线的方程为，

联立方程组，整理得

则，

所以，

所以

，

所以，即为定值.