Question

4．三棱锥P-ABC的四个顶点郡在同一球面上，球心在面ABC上的射影为H，H在棱BC上，AP⊥面ABC，且AP=1，PB=PC=$\sqrt{2}$．则此球的体积为（　　）

• A． $\frac{3π}{4}$
• B． $\frac{3π}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}π}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}π}{2}$

Answer 1

分析 由已知推导出AB=AC=1，AH=BH=CH，从而AB⊥AC，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出球半径R，由此能求出此球的体积．

解答 解：∵三棱锥P-ABC的四个顶点郡在同一球面上，球心在面ABC上的射影为H，
H在棱BC上，AP⊥面ABC，且AP=1，PB=PC=$\sqrt{2}$，
∴AB=AC=1，AH=BH=CH，
∴AB⊥AC，
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），
H（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），设球心O（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，z$），
则|OA|=|OP|，即$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+{z}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+（z-1）^{2}}$，
解得z=$\frac{1}{2}$，
∴球半径R=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴此球的体积为V=$\frac{4}{3}π×（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{3}π}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查球的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．