Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵，
∴，依题意设椭圆方程为：，把点（4，1）代入，得b²=5，
∴椭圆方程为．（5分）
（2）把y=x+m代入椭圆方程得：5x²+8mx+4m²-20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，
∴△=64m²-4×5（4m²-20）＞0，整理得m²＜25，
∴-5＜m＜5．（10分）
分析：（1）由椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为=，可求得=，可设椭圆的方程为：，再把
点M（4，1），代入即可；
（2）把y=x+m代入椭圆方程，整理，利用△＞0即可求得m的取值范围．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，着重考查待定系数法求椭圆的方程及方程思想与化归思想，属于中档题．