【题目】设数列的各项都是正数,若对于任意的正整数
,存在
,使得
、
、
成等比数列,则称函数
为“
型”数列.
(1)若是“
型”数列,且
,
,求
的值;
(2)若是“
型”数列,且
,
,求
的前
项和
;
(3)若既是“
型”数列,又是“
型”数列,求证:数列
是等比数列.
【答案】(1)2;(2) (3)见证明
【解析】
(1)根据已知是“
型”数列,即
成等比数列,那么可知
是等比数列,由条件可直接求出
,进而得
的值;(2)当n为奇数时
,当n为偶数时,根据已知可计算出
,由此得到
;(3)先写出
时的“
型”数列和“
型”数列,公比分别为
和
,再写出
和
时的“
型”数列,公比分别为
和
,根据数列中的公共项可得公比之间的关系
,再由
时的3个“
型”数列的通项公式,可推得
是等比数列。
解:(1)由是“
”数列,所以
成等比,所以
成等比数列,且公比
,
则
(2)由是“
”数列,所以
成等比,所以当
为奇数时:
;
由是“
”数列,所以
成等比,所以当
为偶数时:
;
(3)由是“
”数列,所以
成等比,
设其公比为,又
是“
”数列,则
成等比数列,设其公比为
,同理,设
的公比为
,
的公比为
(
。
那么,所以
。
当时,
,
,
。
综上得:,
,所以
是等比数列
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【题目】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分,正十字形的顶点都在圆周上.已知正十字形的宽和长都分别为x,y(单位:dm)且x<y,若剪去的正十字形部分面积为4dm2.
(1)求y关于x的函数解析式,并求其定义域;
(2)现为了节约纸张,需要所用圆形纸片面积最小.当x取何值时,所用到的圆形纸片面积最小,并求出其最小值.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠AOC=120°,PA⊥平面ABC,AB=4,PA=2,D是PC的中点,点M是⊙O上的动点(不与A,C重合).
(1)证明:AD⊥PB;
(2)当三棱锥D﹣ACM体积最大时,求面MAD与面MCD所成二面角的正弦值.
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【题目】某小学对五年级的学生进行体质测试,已知五年一班共有学生30人,测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图(单位:):男生成绩在175
以上(包括175
)定义为“合格”,成绩在175
以下(不包括175
)定义为“不合格”.女生成绩在165
以上(包括165
)定义为“合格”,成绩在165
以下(不包括165
)定义为“不合格”.
(1)求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数;
(2)在五年一班的男生中任意选取3人,求至少有2人的成绩是合格的概率;
(3)若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试,用表示其中男生的人数,写出
的分布列,并求
的数学期望.
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【题目】如图,直三棱柱的底面
是等腰直角三角形,
,侧棱
底面
,且
,
是
的中点.
(1)求直三棱柱的全面积;
(2)求异面直线与
所成角
的大小(结果用反三角函数表示);
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【题目】已知函数(
为常数,
且
),且数列
是首项为
,公差为
的等差数列.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若,当
时,求数列
的前
项和
的最小值;
(3)若,问是否存在实数
,使得
是递增数列?若存在,求出
的范围;若不存在,说明理由.
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【题目】某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区,如图,已知两个购物广场的占地都呈正方形,它们的面积分别为13公顷和8公顷;美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形,分别记它们的面积为公顷和
公顷;由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形,分别记它们的面积为
公顷和
公顷.
(1)设,用关于
的函数
表示
,并求
在区间
上的最大值的近似值(精确到0.001公顷);
(2)如果,并且
,试分别求出
、
、
、
的值.
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【题目】已知数列{an}是以d为公差的等差数列,{bn}数列是以q为公比的等比数列.
(1)若数列{bn}的前n项和为Sn,且a1=b1=d=2,S3<a1003+5b2﹣2010,求整数q的值;
(2)在(1)的条件下,试问数列中是否存在一项bk,使得bk恰好可以表示为该数列中连续p(p∈N,p≥2)项的和?请说明理由;
(3)若b1=ar,b2=as≠ar,b3=at(其中t>s>r,且(s﹣r)是(t﹣r)的约数),求证:数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项.
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