Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠AOC＝120°，PA⊥平面ABC，AB＝4，PA＝2，D是PC的中点，点M是⊙O上的动点（不与A，C重合）．

（1）证明：AD⊥PB；

（2）当三棱锥D﹣ACM体积最大时，求面MAD与面MCD所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据题意可证，，即可证明平面，从而证得：；

（2）以E为原点，分别以EC，EM，ED为x轴、y轴和z轴，表示出各点坐标，求出平面MAD的法向量与平面MCD的法向量，利用二面角公式即可得到答案。

（1）证明：∵为圆的直径，∴，∵平面，平面，

∴，又，∴平面，又平面，．

∵，，∴，又，

∴，又是的中点，∴，又，∴平面，又平面，

∴．

（2）当三棱锥D﹣ACM体积最大时，三角形ACM的面积最大，取AC的中点E，M点为EO延长线与圆O的交点．

∴DE∥AP，EM⊥AC，以E为原点，分别以EC，EM，ED为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系．

又∵MA＝MC＝AC＝，DE＝PA＝，ME＝3．

∴M（0，3，0），D（0，0，），A（﹣，0，0），C（，0，0），

∴，，，

设平面MAD的法向量为，则，即，

令 可得，

设平面MCD的法向量为，则，即，

令可得，设面MAD与面MCD所成二面角为，则

，∴．